Question

双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，O为坐标原点，点A在双曲线的右支上，点B在双曲线左准线上，
（Ⅰ）求双曲线的离心率e；
（Ⅱ）若此双曲线过，求双曲线的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，D₁、D₂分别是双曲线的虚轴端点（D₂在y轴正半轴上），过D₁的直线l交双曲线于点M、N，，求直线l的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）四边形F₂ABO是平行四边形，
∴=0，即=0，
∴，
∴平行四边形F₂ABO是菱形．
如图，则r₂=d₁=c，r₁=2a+r₂=2a+c，
由双曲线定义得r₁=d₁e?2a+c=ce?e²-e-2=0，
∴e=2（e=-1舍去）（3分）
（Ⅱ）由b²=c²-a²=3a²，
双曲线方程为，
把点代入有得a²=3，
∴双曲线方程．（6分）
（Ⅲ）D₁（0，-3），D₂（0，3），
设l的方程为y=kx-3，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
则由，
因l与与双曲线有两个交点，∴3-k²≠0．
∵，，
△=36k²+4×18（3-k²）＞0（8分）
∴，
y₁•y₂=k²x₁x₂-3k（x₁+x₂）+9=9，
，?x₁•x₂+y₁•y₂-3（y₁+y₁）+9=0
∴k²=5，
满足△＞0，
∴（11分）
故所求直线l方程为（13分）
分析：（Ⅰ）四边形F₂ABO是平行四边形，由=0，知平行四边形F₂ABO是菱形．由此能求出双曲线的离心率e．
（Ⅱ）由b²=c²-a²=3a²，双曲线方程为，把点代入得a²=3，由此能求出双曲线方程．
（Ⅲ）D₁（0，-3），D₂（0，3），设l的方程为y=kx-3，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由，因l与与双曲线有两个交点，再由根的判别式和韦达定理进行求解．
点评：本题考查双曲线的离心率和双曲线方程的求法，求直线方程．主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．