Question

已知定义域为R的奇函数f（x）在[0，+∞）上为减函数，判断 f（x）在（-∞，0）上的单调性并给以证明．

Answer 1

解：f（x）是（-∞，0）上的单调递减函数．
证明如下：设x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，则有-x₁＞-x₂＞0…（4分）
∵f（x）是[0，+∞）上的减函数∴f（-x₁）＜f（-x₂）…（7分）
又∵f（x）为R上的奇函数∴-f（x₁）＜-f（x₂），即f（x₁）＞f（x₂）．…（10分）
故f（x）是（-∞，0）上的单调递减函数…．．（12分）
分析：设x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，则有-x₁＞-x₂＞0，然后根据奇函数f（x）在[0，+∞）上为减函数，建立不等关系，化简即可得到f（x₁）＞f（x₂），从而得到函数的单调性．
点评：本题主要考查了函数的奇偶性，以及函数单调性的判断与证明，属于中档题．