Question

已知双曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，离心率e=

5

2

，顶点到渐近线的距离为

2 5

5

．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与该双曲线相交于A，B两点，且AB中点坐标为(1，

1

4

)，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）取顶点A（a，0），渐近线y=

b

a

x，利用点到直线的距离公式可得

ab

c

=

2 5

5

．联立

e= c a = 5 2 c2=a2+b2 ab c = 2 5 5

，解得即可；
（2）直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线的方程联立化为（1-4k²）x²-8kmx-4m²-4=0，由于直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与该双曲线相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，且AB中点坐标为(1，

1

4

)，可得1-4k²≠0，△＞0，利用根与系数的关系和中点坐标公式即可得出k，进而得出m的取值范围．

解答：解：（1）取顶点A（a，0），渐近线y=

b

a

x，即bx-ay=0，则

ab

a2+b2

=

2 5

5

，化为

ab

c

=

2 5

5

．
联立

e= c a = 5 2 c2=a2+b2 ab c = 2 5 5

，解得a=2，c=

5

，b=1．
∴双曲线C的方程为

x2

4

-y2=1．
（2）直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线的方程联立

y=kx+m x2 4 -y2=1

，
化为（1-4k²）x²-8kmx-4m²-4=0，
∵直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与该双曲线相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，且AB中点坐标为(1，

1

4

)，
∴1-4k²≠0，△=64k²m²-4（1-4k²）（-4m²-4）＞0，
化为m²＞4k²-1．（*）
∴x1+x2=

8km

1-4k2

，∴

1= 4km 1-4k2 1 4 =k+m

，解得k=1．
代入（*）可得m²＞4-1=3，解得m＞

3

，或m＜-

3

．
∴m的取值范围为(-∞，-

3

)∪(

3

，+∞)．

点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题转化为方程联立得到△＞0及根与系数的关系、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．