Question

已知经过点Q（6，0）的直线l与抛物线y²=6x交于A，B两点，O是坐标系原点，求

OA

•

OB

的值．

Answer 1

分析：当直线l的斜率不存在时，写出直线l的方程，求出A，B的坐标，直接代入数量积公式求值，当直线l的斜率存在时，设出直线l的方程，和抛物线方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求出两个交点A，B的横坐标的和与积，进一步求出纵坐标的积，直接代入数量积公式求值．

解答：解：若直线l的斜率不存在，则其方程为x=6，代入y²=6x得，A（6，6），B（6，-6），
所以

OA

=(6，6)，

OB

=(6，-6)，则

OA

•

OB

=6×6+6×(-6)=0；
若直线l的斜率存在，设其斜率为k（k≠0），则l的方程为y=kx-6k，
联立

y=kx-6k y2=6x

，得k²x²-（12k²+6）x+36k²=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
x1+x2=

12k2+6

k2

，x1x2=36
y₁y₂=（kx₁-6k）（kx₂-6k）=k2x1x2-6k2(x1+x2)+36k2
=36k2-6k2•

12k2+6

k2

+36k2=-36．
所以

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=36-36=0．
综上，

OA

•

OB

的值为0．

点评：本题考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用一元二次方程的根与系数关系解题，此题是中档题．