Question

已知△ABC的顶点坐标分别是A（1，1）、B（4，1）、C（2，3）．
（1）求该三角形AC边上的高所在的直线方程；
（2）求该三角形AC边上的高的长度．
（3）求△ABC外接圆的方程．

Answer 1

分析：（1）确定直线AC的斜率，可得三角形AC边上的高所在的直线的斜率，从而可得三角形AC边上的高所在的直线方程；
（2）利用点到直线的距离公式，即可求该三角形AC边上的高的长度．
（3）利用待定系数法，可求△ABC外接圆的方程．

解答：解：（1）∵直线AC的斜率为kAC=

3-1

2-1

=2，∴三角形AC边上的高所在的直线的斜率k=-

1

2

，（1分）
∴三角形AC边上的高所在的直线方程为y-1=-

1

2

(x-4)
即x+2y-6=0为所求．（2分）
（2）∵直线AC的方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0（3分）
∴三角形AC边上的高的长度为

|2×4-1-1|

22+(-1)2

=

6 5

5

（4分）
（3）设△ABC外接圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0
则1²+1²+D•1+E•1+F=0①4²+1²+D•4+E•1+F=0②2²+3²+D•2+E•3+F=0③
解方程组得，D=-5，E=-3，F=6．（6分）
所以△ABC外接圆的方程为x²+y²-5x-3y+6=0（7分）

点评：本题考查直线、圆的方程，考查待定系数法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．