Question

(1)设△ABC的顶点A、B在平面α外,顶点C在平面α内,AB在平面α上的射影分别为A₁、B₁,AA₁＜BB₁,△ABC的边BC上的高为AD,AD∥平面α,BC与α所成角为θ,求平面ABC与平面α所成角的大小;

(2)正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,E是BC的中点,求平面B₁D₁E和平面ABCD所成的二面角的正弦值.

Answer 1

(1)解析：过D作DE⊥B₁C于E,?

∵BB₁⊥面α,?∴面CBB₁⊥面α.?

∴DE⊥面α.∵AA₁⊥面α,?

∴AA₁∥DE.∴A、A₁、E、D四点共面.?

∴A₁E AD.∴A₁E⊥BC.?

∴A₁E⊥B₁C.?

∴S_△A1CB1=A₁E×B₁C?

=AD×BCcosθ.?

∵AA₁、BB₁均垂直面α,∴△A₁CB₁为△ABC在面α上的射影.?

∴设该二面角大小为β.?

∴cosβ==cosθ.∴α=θ.?

(2)解析：取B₁C₁中点E₁,连结EE₁,过E₁作E₁F⊥B₁D₁于F,连结EF.?

∵E为BC中点,E₁为B₁C₁中点,?

∴EE₁⊥面A₁B₁C₁D₁.?

∵面ABCD∥面A₁B₁C₁D₁,∴面B₁D₁E和面ABCD所成角等于面B₁D₁E与面A₁B₁C₁D₁所成角，设为α,并设该立方体边长为a.?

∵△B₁E₁D₁为△B₁ED₁在面A₁B₁C₁D₁内的射影,∴|cosα|=.∴sinα=.