Question

某产品在不做广告宣传且每千克获利a元的前提下，可卖出b千克．若做广告宣传，广告费为n千元时比广告费为（n-1）千元时多卖出千克，（n∈N^*）．记广告费为n千元时，卖出产品数量为S_n千克．
（1）求S₁，S₂；
（2）求S_n；
（3）当a=50，b=200时厂家应生产多少千克这种产品，做几千元广告，才能获利最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）当广告费为1千元时，销售量，     
（2）设s表示广告费为0千元时的销售量，即s=b，，…s_n-s_n-1=，叠加可求
（3）设获利为T_n，则有T_n=as_n-1000n=50×=10000（2-）-1000n，欲使T_n最大，则，代入解不等式可求n
解答：解：（1）当广告费为1千元时，销售量        （2分）
当广告费为2千元时，销售量     （4分）
（2）设s表示广告费为0千元时的销售量，即s=b
由题意得

…
s_n-s_n-1=，（6分）
以上n个等式相加得 （7分）
即有==（9分）
（3）当a=50，b=200时，设获利为T_n，则有T_n=as_n-1000n=50×=10000（2-）-1000n（11分）
欲使T_n最大，则，
则
解可得，故n=3．（13分）
当n=3时，s₃=375，即厂家应生产350千克产品，做3千元的广告，能获利最大．（14分）
点评：本题主要考查了数列的叠加求解通项公式，利用数列的单调性求解数列的最大（小）项，解题中要注意函数思想在解题中的应用．