Question

在?ABCD中，A（1，1），

AB

=（6，0），点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P．
（1）若

AD

=（3，5），求点C的坐标；
（2）当|

AB

|=|

AD

|时，求点P的轨迹．

Answer 1

分析：（1）设出C的坐标，

AC

=

AD

+

AB

，以及

OC

=

OA

+

AC

求出点C的坐标，
（2）设出P的坐标，当|

AB

|=|

AD

|时?ABCD为菱形，

BP

⊥

AC

，表示

BP

，

AC

，即可求点P的轨迹．

解答：解：（1）设点C的坐标为（x₀，y₀），
又

AC

=

AD

+

AB

=（3，5）+（6，0）=（9，5），
即（x₀-1，y₀-1）=（9，5），
∴x₀=10，y₀=6，即点C（10，6）．
（2）设P（x，y），则

BP

=

AP

-

AB

=（x-1，y-1）-（6，0）
=（x-7，y-1），

AC

=

AM

+

MC

=

1

2

AB

+3

MP

=

1

2

AB

+3（

AP

-

1

2

AB

）=3

AP

-

AB

=（3（x-1），3（y-1））-（6，0）
=（3x-9，3y-3）．
∵|

AB

|=|

AD

|，∴?ABCD为菱形，∴

BP

⊥

AC

，
∴（x-7，y-1）•（3x-9，3y-3）=0，
即（x-7）（3x-9）+（y-1）（3y-3）=0．
∴x²+y²-10x-2y+22=0（y≠1）．
即（x-5）²+（y-1）²=4（y≠1）．
故点P的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半径的圆去掉与直线y=1的两个交点．

点评：本题考查平面向量坐标运算，求轨迹方程的方法，是难题．