Question

设三次函数在x＝1处取得极值，其图象在x＝m处的切线的斜率为－3a．

(1)求证：；

(2)若函数y＝f(x)在区间[s，t]上单调递增，求的取值范围；

(3)问是否存在实数k(k是与a，b，c，d无关的常数)，当x≥k时，恒有恒成立？若存在，试求出k的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由题设，得① 　　② 　　∵ 　　由①代入②得， 　　得∴或③ 　　将c＝－3a－2b代入a＜b＜c中，得④ 　　由③、④得； 　　(2)由(1)知，的判别式： 　　∴方程有两个不等的实根x1，x2，又 　　∴，∴当x＜x2或x＞x1时，， 　　当x2＜x＜x1时，，∴函数y＝f(x)的单调增区间是[x1，x2] 　　∴，由知 　　∵函数y＝f(x)在区间[s，t]上单调递增，∴ 　　∴，即的取值范围是； 　　(3)由，即， 　　∵，∴ 　　∴或．由题意，得 　　∴，∴存在实数k满足条件，即k的最小值为．

提示：

分析：本题主要考查导数的几何意义，导数的应用，二次函数的图象和性质，不等式的解法与证明等基本知识；考查数形结合、等价转化等数学思想方法；考查学生应用知识分析问题解决问题的能力． 　　说明：三次函数是导数应用的热点问题，《考试大纲》对导数和函数都有较高的要求，又有“在知识交汇点设计试题”作后盾，跟其它数学知识综合的试题应运而生，解答这类问题的关键在于灵活地运用函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转换等数学思想方法来分析．