Question

已知定义在上的函数，其中为常数.

  (1)若是函数的一个极值点，求的值.

  (2)若函数在区间上是增函数，求的取值范围.

  (3)若函数在处取得最大值，求正数的取值范围.

Answer 1

解：(1) ，.

 ∵是的一个极值点, ∴,　∴. ………3分

 (2)①当时，在区间上是增函数，∴符合题意. ………4分

 ②当时，,令得

  当时，对任意，恒有，∴符合题意;

  当时，当时，,∴

 ∴符合题意. 综上所述，………8分

 (3) ，.

      

  令，即

  显然有，设方程的两个根为.

 　由式得，不妨设， 当时，为极小值，

  所以在上的最大值只能为或 ………10分

　当时，由于在上是单调递减函数，所以最大值为，又已知在处取得最大值，所以

 即，解得, 　又因为，所以.  ………13分