Question

在某个QQ群中有n名同学在玩一种叫“数字哈哈镜”的游戏．这些同学编号依次为1，2，3，…．，n..在哈哈镜中，每个同学看到的像用数对（p，q）表示．规则如下：编号为k的同学看到的像为（a_k，a_k+1），且满足a_k+1-a_k=k（k∈N*），已知编号为1的同学看到的像为（5，6），则编号为4的同学看到的像为

（11，15）

；某位同学看到的像为（195，q），其中q的值被遮住了，请你帮这位同学猜出q=

215

．

Answer 1

分析：由游戏规则中“编号为k的同学看到像为（p，q）中的（a_k，a_k+1），编号为k+1的同学看到像为（a_k+1，a_k+2），这样就找到了游戏进行的一个联系，同时注意到a_k+1-a_k=k（k∈N*），至此，本题中的题意就浮现出来．

解答：解：（1）由题意规律，编号为1的同学看到的像是（5，6），
∴编号为2的同学看到的像是（6，8），
编号为3的同学看到的像是（8，11），
编号为4的同学看到的像是（11，15）．
（2）设编号为n的同学看到的像是（b_n，a_n），
则b₁=5，a₁=6，当n≥2时，b_n=a_n-1．
由题意a_n-b_n=n，∴a_n-a_n-1=n（n≥2）．
∴a_n-a₁=（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=2+3+…n=

(n+2)(n-1)

2

．．
an=

(n+2)(n-1)

2

+6=

n2+n+10

2

，
bn=an-n=

n2-n+10

2

，
当bn=an-n=

n2-n+10

2

=195时，n=20，
an=

(n+2)(n-1)

2

+6=

n2+n+10

2

=

400+20+10

2

=215．
故答案为：（11，15），215．

点评：本题以QQ作为背景、以数字哈哈镜面游戏规则形式给出信息，考查学生阅读信息、搜集信息、加工信息的能力．考查灵活运用数列知识分析问题与解决问题的能力．