Question

如果函数f（x）满足：对任意的实数n，m都有f（n+m）=f（n）+f（m）+12且f(n+m)=f(n)+f(m)+

1

2

且f（

1

2

）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）（n∈N^*）等于（　　）

• A、n
• B、n²
• C、

  n2

  2

• D、

  n2

  4

Answer 1

分析：依题意，令m=n=

1

2

，得f（1）=

1

2

，再令m=1，得：f（n+1）-f（n）=1，从而知数列{f（n）}是以

1

2

为首项，1为公差的等差数列，于是可求得f（1）+f（2）+…+f（n）的值．

解答：解：∵f（

1

2

）=0，
令m=n=

1

2

，得f（1）=2f（

1

2

）+

1

2

=

1

2

，
再令m=1，得：f（n+1）=f（n）+f（1）+

1

2

=f（n）+1，
∴f（n+1）-f（n）=1，
∴数列{f（n）}是以

1

2

为首项，1为公差的等差数列，
∴f（1）+f（2）+…+f（n）=n×

1

2

+

n(n-1)

2

×1=

n2

2

（n∈N^*）．
故选：C．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法与等差数列的确定及其求和公式的应用，属于中档题．