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设f(x)为定义在R上的增函数,令g(x)=f(x)-f(2008-x)
(1)求证:g(x)+g(2008-x)是定值.
(2)判断g(x)在R上的单调性;并证明.
(3)若g(x1)+g(x2)>0,求证:x1+x2>2008.
分析:(1)由g(x)=f(x)-f(2008-x),得g(2008-x)的解析式,从而计算g(x)+g(2008-x)的值.
(2)由函数的单调性定义可以判定和证明g(x)的单调性.
(3)由(1)得 g(x1)+g(x2)=g(x1)-g(2008-x2)>0,得g(x1)>g(2008-x2);根据g(x)的单调性证得结论.
解答:解:(1)∵g(x)=f(x)-f(2008-x),
∴g(2008-x)=f(2008-x)-f(x),
∴g(x)+g(2008-x)=f(x)-f(2008-x)+f(2008-x)-f(x)=0,是定值.
(2)证明:在R上任取实数x1<x2
则g(x1)-g(x2)=f(x1)-f(2008-x1)-f(x2)+f(2008-x2
=[f(x1)-f(x2)]+[f(2008-x2)-f(2008-x1)].
由题设知2008-x2<2008-x1,又f(x)是R上的增函数,
∴f(x1)<f(x2),f(2008-x2)<f(2008-x1),
即g(x1)-g(x2)<0,
∴g(x)在R上是单调递增函数.
(3)由(1)知 g(x)+g(2008-x)=0,
∴g(x2)=-g(2008-x2),
∴g(x1)+g(x2)=g(x1)-g(2008-x2)>0,
即g(x1)>g(2008-x2),
又g(x)在R上是单调递增函数,
∴x1>2008-x2
即 x1+x2>2008.
点评:本题考查了函数单调性的判断与证明,以及函数与不等式的应用问题,是中档题.
练习册系列答案
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设f(x)为定义在R上的偶函数,当0≤x≤2时,y=x;当x>2时,y=f(x)的图象时顶点在P(3,4),且过点A(2,2)的抛物线的一部分
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(2)在右面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的图象;
(3)写出函数f(x)值域.

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ax+2,(-1≤x≤0)
logax,(0<x≤1)
(a>0且a≠1),则f(
5
2
)
=
-1
-1

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(2013•济宁二模)下列命题:
①线性回归方程对应的直线
y
=
b
x+
a
至少经过其样本数据点(x1,yl),(x1,yl),…,(xn,yn)中的一个点;
②设f(x)为定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=
x
.则当x<0时,f(x)=
-x

③若圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)与坐标轴的交点坐标分别为(x1,0),(x2,0),(0,yl),(0,y2),则x1x2-y1y2=0;
④若圆锥的底面直径为2,母线长为
2
,则该圆锥的外接球表面积为4π.
其中正确命题的序号为.
③④
③④
.(把所有正确命题的序号都填上)

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