Question

17．设函数f（x）=（x-2）||x|-a|，a＞0．
（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求f（x）在[-3，3]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=3时，f（x）=（x-2）||x|-3|，对x讨论，去掉绝对值，再由二次函数的对称轴和单调性，即可得到所求增区间；
（Ⅱ）对x讨论，去绝对值，再对a讨论，分0＜a≤2，2＜a＜3时，3≤a＜8，a≥8，结合对称轴和区间[-3，3]的关系，即可得到最小值．

解答 解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=（x-2）||x|-3|，
当x≥3时，f（x）=（x-2）（x-3）=x²-5x+6在[3，+∞）递增；
当0＜x＜3时，f（x）=（x-2）（3-x）=-x²+5x-6在（0，$\frac{5}{2}$]递增；
当-3＜x≤0时，f（x）=（x-2）（x+3）=x²+x-6在[-$\frac{1}{2}$，0]递增；
当x≤-3时，f（x）=（x-2）（-x-3）=-x²-x-6在（-∞，-3]递增．
综上可得，f（x）的增区间为（-∞，-3]，[-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]，[3，+∞）．
（Ⅱ）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）（x-a），x≥a}\\{（x-2）（-x+a），0≤x≤a}\\{（x-2）（x+a），-a≤x＜0}\\{（x-2）（-x-a），x＜-a}\end{array}\right.$，
（1）若0＜a≤2，则f（x）_min=min{f（-3），f（0）}=min{-5|3-a|，-2a}，
当-5|3-a|=-2a，解得a=$\frac{15}{7}$或a=5，
即当0＜a≤2时，f（x）_min=-5（3-a）；
（2）若2＜a＜3时，f（x）_min=min{f（-3），f（$\frac{2-a}{2}$）}=min{-5|3-a|，-$\frac{（a+2）^{2}}{4}$}，
当-5|3-a|=-$\frac{（a+2）^{2}}{4}$，解得a=10$\sqrt{2}$-12∈（2，3），
即f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{-5（3-a），a∈（2，10\sqrt{2}-12）}\\{-\frac{（a+2）^{2}}{4}，a∈（10\sqrt{2}-12，3）}\end{array}\right.$，
（3）若-a≤-3＜$\frac{2-a}{2}$，即3≤a＜8时，f（x）_min=f（-$\frac{a+2}{2}$）=-$\frac{（a+2）^{2}}{4}$，
（4）若$\frac{2-a}{2}$≤-3，则a≥8，f（x）_min=f（-3）=15-5a．
综上可得，f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{5a-15，a∈（0，10\sqrt{2}-12）}\\{-\frac{（a+2）^{2}}{4}，a∈[10\sqrt{2}-12，8）}\\{15-5a，a∈[8，+∞）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查分段函数的单调性和最值求法，注意讨论对称轴和区间的关系，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．