Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，BB₁=2，E是棱CC₁上的点，且CE=

1

4

CC1．
（1）求三棱锥C-BED的体积；
（2）求证：A₁C⊥平面BDE．

Answer 1

分析：（1）由等体积法可得V_C-BED=V_E-BCD=

1

3

(

1

2

•BC•CD)•CE，把数据代入运算．
（2）先证明BE⊥面A₁B₁C，可得 BE⊥A₁C，再由由三垂线定理可得BD⊥A₁C，得到 A₁C⊥平面BDE．

解答：解：（1）V_C-BED=V_E-BCD=

1

3

(

1

2

•BC•CD)•CE=

1

3

(

1

2

×1×1)×

2

4

=

1

12

．
（2）证明：长方体中，∵A₁B₁⊥面BB₁C₁C，∴A₁B₁⊥BE，由题意得 B₁C⊥BE，故BE 垂直于面A₁B₁C内的
两条相交直线 A₁B₁和B₁C，∴BE⊥面A₁B₁C，∴BE⊥A₁C．
正方形ABCD中，∵AC⊥BD，AC是A₁C在底面内的射影，由三垂线定理可得BD⊥A₁C．
这样，A₁C垂直于平面BDE内的两条相交直线BE 和BD，故A₁C⊥平面BDE．

点评：本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，求棱锥的体积，证明BE⊥A₁C是解题的关键．