Question

数学单选题，每个题都有4个选项，其中只有一个是正确的．一次数学测验中，共出12道选择题，每题5分．同学甲和乙都会做其中的9道题，另外3道题，甲只能随意猜；乙有两道题各能排除一个错误选项，另一题能排除两个错误选项．求：
（1）同学甲和乙选择题都得55分的概率；
（2）就选择题而言，乙比甲多得10分的概率．

Answer 1

分析：（1）同学甲和乙选择题都得55分即不会做的三道题两人都做对了2道，先利用独立重复试验的概率公式计算甲猜对2个题的概率，再由独立事件同时发生的概率计算乙猜对2个题的概率，最后两个事件同时发生，概率相乘即可
（2）乙比甲多得10分包含两个互斥事件：不会的3个题目乙对2道，甲对0道；不会的3个题目乙对3道，甲对1道，分别按照与（1）类似的方法计算概率，最后求和即可

解答：解：（1）甲乙都得55分，就是二人各猜对2个题．
甲猜对2个题的概率为

C

2 3

×(

1

4

)2×

3

4

=

9

64

乙猜对2个题的概率为(

1

3

)2×(1-

1

2

)+

C

1 2

×

1

3

×(1-

1

3

)×

1

2

=

5

18

二人各猜对2个题的概率为P₁=

9

64

×

5

18

=

5

128

；
（2）不会的3个题目，解答情况如下：
乙对2道，甲对0道的概率为[(

1

3

)2×(1-

1

2

)+

C

1 2

×

1

3

×(1-

1

3

)×

1

2

]×(1-

1

4

)3=

15

128

乙对3道，甲对1道的概率为(

1

3

)2×

1

2

×

C

1 3

×

1

4

×(1-

1

4

)2=

1

32

所以，乙比甲多得10分的概率P2=

15

128

+

1

32

=

19

128

．

点评：本题考查了独立事件同时发生的概率计算，独立重复试验的概率计算，互斥事件发生的概率计算