Question

（本小题满分13分）  

    设；对任意实数，记

   （1）判断的奇偶性；

   （2）求函数的单调区间；

   （3）证明：对任意实数恒成立。

 

Answer 1

【答案】

（1）f(x)为非奇非偶函数，也为非奇非偶函数

（2）故的单调递增区间为；单调递减区间为

（3）对任意实数恒成立。

【解析】解：（1）的定义域为不关于原上噗对称，

    为非奇非偶函数，             …………（2分）  

    而的定义域为R，且

    也为非奇非偶函数             …………（4分）

   （2）函数的定义域为（0，+∞），

    由

    由

    故的单调递增区间为；单调递减区间为……（8分）

   （3）解法一：令  ……（10分）

    则

    由时，

    当时，，

    上单调递减，在上单调递增，

    上有唯一极小值，也是它的最小值，而在（0，+∞）上的最小值

    …………（13分）

    解法二：对任意，令，

    则

    由

    当；

    当的唯一极小值点，

   

    …………（13分）