Question

定义在R⁺上的增函数f（x）满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），
（1）求f（1）、f（4）的值；
（2）若f（x）+f（5-x）＞2，求x的取值范围．

Answer 1

解：（1）f（2）=f（2×1）=f（2）+f（1）=1
∴f（1）=0
f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2
（2）f（x）+f（5-x）=f[x•（5-x）]＞2=f（2）+f（2）=f（4），
因为f（x）是增函数，所以x（5-x）＞4，即x²-5x+4＜0，x的范围为1＜x＜4，
因为定义在R+上，所以x＞0，5-x＞0结合1＜x＜4，
所以最终得到实数x的取值范围是1＜x＜4
分析：（1）根据题意，分析可得：f（2）=f（2）+f（1），把f（2）=1代入求得f（1）；根据f（4）=f（2）+f（2），把f（2）=2代入即可求得f（4）
（2）根据题设可知f（x）+f（5-x）=f[x•（5-x）]＞2，同时2=f（4），进而根据函数单调性求得x（5-x）＞4求得x的范围，同时根据函数单调性知可知x＞0，5-x＞0最后取交集，x的范围可得．
点评：本题主要考查了抽象函数及其应用．解题的关键是灵活利用特设中关系式，同时还要注意函数的定义域的问题．