Question

已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点是F(1,0)，且离心率为.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设经过点F的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0，y₀)，求y₀的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

(1) ＋＝1. (2)

【解析】

试题分析：解：(Ⅰ)设椭圆C的半焦距是c.依题意，得c＝1.

因为椭圆C的离心率为，

所以a＝2c＝2，b²＝a²－c²＝3.   2分

故椭圆C的方程为＋＝1.   3分

(Ⅱ)当MN⊥x轴时，显然y₀＝0.   4分

当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为

y＝k(x－1)(k≠0)．  5分

由

消去y并整理得(3＋4k²)x²－8k²x＋4(k²－3)＝0.   6分

设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，线段MN的中点为Q(x₃，y₃)，

则x₁＋x₂＝.

所以x₃＝＝，y₃＝k(x₃－1)＝.  8分

线段MN的垂直平分线的方程为

y＋＝－.

在上述方程中，令x＝0，得y₀＝＝.  9分

当k<0时，＋4k≤－4；当k>0时， ＋4k≥4.

所以－≤y₀<0或0<y₀≤.  11分

综上，y₀的取值范围是.  12分

考点：本试题考查了椭圆的知识。

点评：对于椭圆方程的求解主要是根据其性质满足的的a,b,c的关系式来解得，同时对于直线与椭圆的相交问题，一般采用联立方程组的思想，结合韦达定理和判别式来分析参数的范围等等，或者研究最值，属于中档题。