Question

已知函数，当时，函数f（x）有极大值．
（Ⅰ）求实数b、c的值；
（Ⅱ）若存在x∈[-1，2]，使得f（x）≥3a-7成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）x＜1时，f′（x）=-3x²+2x+b，利用当时，函数f（x）有极大值，建立方程，即可求得实数b、c的值；
（Ⅱ）存在x∈[-1，2]，使得f（x）≥3a-7成立，等价于x∈[-1，2]，使得f（x）_max≥3a-7成立，分类讨论，求出函数的最大值，即可求实数a的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）x＜1时，f′（x）=-3x²+2x+b
∵当时，函数f（x）有极大值，
∴f′（）=-++b=0，f（）=-++c=，
∴b=0，c=0；
（Ⅱ）存在x∈[-1，2]，使得f（x）≥3a-7成立，等价于x∈[-1，2]，使得f（x）_max≥3a-7成立
由（Ⅰ）知，
①-1≤x＜1时，f′（x）=-3x（x-），函数在（-1，0）上单调递减，在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减
∵f（-1）=2，f（）=，∴-1≤x＜1时，f（x）_max=2，；
②2≥x≥1时，f′（x）=，
1°、a＞0，函数在[1，2]上单调递增，f（x）_max=f（2）=aln2，
∴或，∴＜a≤或0＜a≤；
2°、a≤0，函数在[1，2]上单调递减，f（x）_max=f（1）=aln1=0，
∴2≥3a-7，∴a≤3，∴a≤0
综上，实数a的取值范围是a≤．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的绝对值，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．