Question

10．已知函数f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在给出的直角坐标系中，画出函数f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的图象．

Answer 1

分析 （1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行化简整理求得函数的解析式，进而根据正弦函数的单调性求得单调增区间；
（2）利用左加右减，上加下减的原则，将函数y=sinx纵坐标不变，横坐标缩小到$\frac{1}{2}$倍得到y=sin2x，再向左平移$\frac{π}{6}$个单位得到函数y=sin（2x+$\frac{π}{3}$），横坐标不变，纵坐标扩大2倍得到y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），即可得出结论．

解答 解：（1）f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx
=2cosx（sinxcos$\frac{π}{3}$+cosxsin$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+$\frac{1}{2}$sin2x
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
当2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$时，即kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，函数单调增，
∴函数的单调增区间为：[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]（k∈Z）．
（2）由函数y=sinx纵坐标不变，横坐标缩小到$\frac{1}{2}$倍得到y=sin2x，再向左平移$\frac{π}{6}$个单位得到函数y=sin（2x+$\frac{π}{3}$），横坐标不变，纵坐标扩大2倍得到y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），

点评 本题主要考查了三角函数的基本性质和三角函数的图象变换．考查了学生对基础知识点综合运用．