Question

已知角A、B、C为△ABC的三个内角，其对边分别为a、b、c，若

m

=（-cos

A

2

，sin

A

2

），

n

=（cos

A

2

，sin

A

2

），a=2

3

，且

m

•

n

=

1

2

，求：
（Ⅰ）若△ABC的面积S=

3

，求b+c的值．
（Ⅱ）求b+c的取值范围．
（III）求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

∵

m

•

n

=-cos2

A

2

+sin2

A

2

=

1

2

，∴-cosA=

1

2

，∴cosA=-

1

2

，∴A=120°，
（Ⅰ）∵S=

3

=

1

2

bc•sin120°，∴bc=4①，
又根据余弦定理得：a²=b²+c²-2bc•（-

1

2

），
∴12=b²+c²+bc=（b+c）²-bc②，
由①②得：（b+c）²=16，∴b+c=4；
（Ⅱ）由②得：12=b²+c²+bc=（b+c）²-bc，
而bc≤(

b+c

2

)2（b=c时，取“=”），
∴（b+c）²-

(b+c)

4

2≤12，
∴（b+c）²≤16，
∴b+c≤4，
而三角形的两边之和大于第三边，
于是有2

3

＜b+c≤4；
（III）由②得：12=b²+c²+bc≥2bc+bc=3bc（b=c时，取“=”），
∴bc≤4，
∴S_△ABC=

1

2

bc•sin120°≤

1

2

×4×

3

2

=

3

，
∴S_max=

3

．