Question

如图，已知某椭圆的焦点是F₁(－4，0)、F₂(4，0)，过点F₂并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F₁B|＋|F₂B|＝10，椭圆上不同的两点A(x₁，y₁)，C(x₂，y₂)满足条件：|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差数列．

(1)求该弦椭圆的方程；

(2)求弦AC中点的横坐标；

(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，求m的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由椭圆定义及条件知，2a＝|F1B|＋|F2B|＝10，得a＝5，又c＝4，所以b＝＝3． 　　故椭圆方程为＝1． 　　(2)由点B(4，yB)在椭圆上，得|F2B|＝|yB|＝．因为椭圆右准线方程为x＝，离心率为，根据椭圆定义，有|F2A|＝(－x1)，|F2C|＝(－x2)， 　　由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得 　　(－x1)＋(－x2)＝2×，由此得出：x1＋x2＝8． 　　设弦AC的中点为P(x0，y0)，则x0＝＝4． 　　(3)解法一：由A(x1，y1)，C(x2，y2)在椭圆上． 　　得 　　①－②得9(x12－x22)＋25(y12－y22)＝0， 　　即9×＝0(x1≠x2) 　　将(k≠0)代入上式，得9×4＋25y0(－)＝0(k≠0) 　　即k＝y0(当k＝0时也成立)． 　　由点P(4，y0)在弦AC的垂直平分线上，得y0＝4k＋m，所以m＝y0－4k＝y0－y0＝－y0． 　　由点P(4，y0)在线段BB′(B′与B关于x轴对称)的内部，得－＜y0＜，所以－＜m＜．