Question

17．求下列方程的实数解．
arccos|$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$|+arcsin|$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$|+arccot|$\frac{{x}^{2}-1}{2x}$|=π．

Answer 1

分析 令θ=arccos|$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$|，α=arcsin|$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$|，β=arccot|$\frac{{x}^{2}-1}{2x}$|，则θ、α、β∈[0，$\frac{π}{2}$]，且cosθ=|$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$|，sinα=|$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$|，cotβ=|$\frac{{x}^{2}-1}{2x}$|．
由$\frac{cosθ}{sinα}$=cotβ，且sinθ=$\sqrt{{1-cos}^{2}θ}$=sinα，可得θ=α=β，求得θ=$\frac{π}{3}$，再根据cosθ=|$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$|=$\frac{1}{2}$，求得x的值．

解答 解：令θ=arccos|$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$|，α=arcsin|$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$|，β=arccot|$\frac{{x}^{2}-1}{2x}$|，
则θ、α、β∈[0，$\frac{π}{2}$]，且cosθ=|$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$|，sinα=|$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$|，cotβ=|$\frac{{x}^{2}-1}{2x}$|．
∵$\frac{cosθ}{sinα}$=cotβ，且sinθ=$\sqrt{{1-cos}^{2}θ}$=$\sqrt{\frac{{x}^{4}+{2x}^{2}+1-{（x}^{4}-{2x}^{2}+1）}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}}$=|$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$|=sinα，
∴θ=α=β．
再根据3θ=π，可得θ=$\frac{π}{3}$，故cosθ=|$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$|=$\frac{1}{2}$，求得x²=3，或x²=$\frac{1}{3}$，
故x=±$\sqrt{3}$，或x=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查反三角函数的定义和性质，同角三角函数的基本关系，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．