Question

（2009•武汉模拟）（文科做） 如图，在边长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中M、N、P、Q分别为AD，CD，BB₁，C₁D₁的中点
（1）求点P到平面MNQ的距离；
（2）求直线PN与平面MPQ所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）根据PB∥平面MNQ，则P到平面MNQ的距离即为B到平面MNQ的距离，在平面ABCD中，连接BD则BD⊥MN，求出点B到MN的距离即可求出所求；
（2）设N到MPQ之距为d，然后利用利用等体积法求出d，从而可求出PN与平面MPQ所成角θ的正弦值．

解答：解：（1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、P、Q分别为AD、DC、BB₁、C₁D₁中点
∵PB∥QN即PB∥平面MNQ，∴P到平面MNQ的距离即B到平面MNQ的距离．
在平面ABCD中，连接BD则BD⊥MN，故B到MN之距为

3

4

•

2a

=

3 2a

4

，
因此P到平面MNQ的距离为

3 2a

4

．
（2）在四面体N-MPQ中，Vp-MNQ=

1

3

•(

1

2

•

2

2

a•a)•

3 2a

4

=

a3

8

，又底面三角形MPQ是正三角形，MQ=PQ=MP=

6

2

a    S△MPQ=

3

4

(

6

2

a)2=

3 3

8

a2，
设N到MPQ之距为d
Vn-MPQ=

1

3

•S△MPQ•d=

1

3

•

3 3

8

a2•d=

a3

8

，
∴d=

a

3

PN=

3 2

a．
故PN与平面MPQ所成角θ的正弦值sinθ=

a 3

3 2 a

=

2

3

．

点评：本题主要考查了直线与平面所成的角，以及点、线、面间的距离计算，属于中档题．