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若an=log(n+1)(n+2)(n∈N),我们把使乘积a1a2…an为整数的数n叫做“劣数”,则在区间(1,2004)内所有劣数的和为________.

2026
分析:由已知中an=log(n+1)(n+2),利用对数的运算性质(换底公式的推论),我们可以得到乘积a1a2…an=log2(n+2),则当n+2为2的整数次幂时,n为劣数,即所有劣数n,对应的n+2构成一个以4为首项,以2为公比的等比数列,由等比数列的前n项和公式,易求出区间(1,2004)内所有劣数的和.
解答:∵an=log(n+1)(n+2)
∴a1=log23;a2=log34;a3=log45;…
则a1a2…an=log23•log34•log45•…•log(n+1)(n+2)=log2(n+2)
当n+2为2的整数次幂时,a1a2…an为整数
则在区间(1,2004)内所有劣数n,对应的n+2构成一个以4为首项,以2为公比的等比数列,且满足条件的最后一项为1024
则区间(1,2004)内所有劣数的和为:
(4-2)+(8-2)+(16-2)+…+(1024-2)=(4+8+16+…+1024)-2×9=2044-18=2026
故答案为:2026
点评:本题考查的知识点是对数的运算性质,等比数列的前n项和公式,其中根据对数的运算性质将a1a2…an化为log2(n+2),是解答本题的关键,解答时,要注意在区间(1,2004)内最小的劣数对应的n+2为4,而不是2.
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已知an=log(n+1)(n+2),(n∈N*),若称使乘积a1•a2•a3…an为整数的数n为劣数,则在区间(1,2010)内所有劣数的和为(  )

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A.2026
B.2046
C.1024
D.1022

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