Question

1．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，AB=AC，E，F，H分别是A₁C₁，BC，AC的中点．
（1）求证：平面C₁HF∥平面ABE．
（2）求证：平面AEF⊥平面B₁BCC₁．

Answer 1

分析 （1）证明HF∥AB．EC₁∥AH，推出C₁H∥AE，然后证明平面C₁HF∥平面ABE．
（2）证明AF⊥BC，B₁B⊥AF，得到AF⊥平面B₁BCC₁，然后证明平面AEF⊥平面B₁BCC₁

解答 （本小题8分）证明：（1）∵F，H分别是BC，AC的中点，∴HF∥AB．
又∵E，H分别是A₁C₁，AC的中点，∴EC₁∥AH
又∵EC₁=AH∴四边形EC₁HA为平行四边形．∴C₁H∥AE，
又∵C₁H∩HF=H，AE∩AB=A，
所以平面C₁HF∥平面ABE．
（2）∵AB=AC，F为BC中点，∴AF⊥BC，∵B₁B⊥平面ABC，AF?平面ABC，
∴B₁B⊥AF，∵B₁B∩BC=B，∴AF⊥平面B₁BCC₁
又∵AF?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面B₁BCC₁

点评 本题考查平面与平面垂直以及平面与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．