Question

已知函数f（x）=e^x-ax-1（a＞0，e为自然对数的底数）．
（1）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，证明：（

1

n

）ⁿ+（

2

n

）ⁿ+…+（

n-1

n

）ⁿ+（

n

n

）ⁿ＜

e

e-1

（n∈N^*）

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（1）f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x）_min≥0．构造函数g（a）=a-alna-1，所以g（a）≥0，确定函数的单调性，即可求得实数a的值；
（2）由（1）知，当x＞0时，e^x＞x+1，即e^x＞x，则1＞ln2，

1

2

＞ln(1+

1

2

)，

1

3

＞ln（1+

1

3

），…，

1

n

＞ln（1+

1

n

），累加再由对数的运算法则，即可得证．

解答： （1）解：f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x）_min≥0．
由题意a＞0，f′（x）=e^x-a，
由f′（x）=e^x-a=0，得x=lna．
当x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0．
则f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．
设g（a）=a-alna-1，所以g（a）≥0．
由g′（a）=1-lna-1=-lna=0得a=1．
则g（a）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
∴g（a）在a=1处取得最大值，而g（1）=0．
因此g（a）≥0的解为a=1，故a=1；
（2）证明：由（1）可知：当x＞0时，e^x＞x+1，即e^x＞x，
即有e^nx＞xⁿ．
则（

1

n

）ⁿ＜e，（

2

n

）ⁿ＜e²，（

3

n

）ⁿ＜e³，…，（

n

n

）ⁿ＜eⁿ，
则（

1

n

）ⁿ+（

2

n

）ⁿ+…+（

n-1

n

）ⁿ+（

n

n

）ⁿ＜e+e²+e³+…+eⁿ=

e(1-en)

1-e

＜

e

e-1

故（

1

n

）ⁿ+（

2

n

）ⁿ+…+（

n-1

n

）ⁿ+（

n

n

）ⁿ＜

e

e-1

成立．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，同时考查不等式的证明，解题的关键是正确求导数，确定函数的单调性．