Question

已知二次函数，，的最小值为．

⑴求函数的解析式；

⑵设，若在上是减函数，求实数的取值范围；

⑶设函数，若此函数在定义域范围内不存在零点，求实数的取值范围.[

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）。

【解析】

试题分析：(1)由可设，再由的最小值求a的值；（2）首先对

二次项系数分、、三种情况讨论，然后确定对称轴与给定区间

端点的关系；（3）要满足题意，须有有解，且无解.然后求

的最小值，令，但不属于的值域，即可得实数的取值范围。

⑴ 由题意设，

∵ 的最小值为， ∴ ，且， ∴ ，

∴ .

⑵ ∵ ，

①当时，在[?1, 1]上是减函数，∴ 符合题意.

② 当时，对称轴方程为：，

ⅰ）当，即 时，抛物线开口向上，

由， 得 ， ∴ ；

ⅱ）当， 即时，抛物线开口向下，

由，得 ， ∴.

综上知，实数的取值范围为.

⑶法一：∵ 函数在定义域内不存在零点，必须且只须有

有解，且无解.

∴ ，且不属于的值域，

又∵ ，

∴ 的最小值为，的值域为，

∴ ，且

∴ 的取值范围为.

法二：，令，

必有，得，

因为函数在定义域内不存在零点，，

得，即，又（否则函数定义域为空集，不是函数），

的取值范围是。

考点：（1）待定系数法求函数的解析式；（2）二次项系数及二次函数对称轴与给定区间引起的分类讨论；（3）构造函数研究函数的零点个数。