Question

单调递增数列{a_n}的前n项和为S_n，满足Sn=

1

2

(

a

2 n

+n)
（1）求a₁，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=

1 a 2 n+1 -1         n为奇数 3×2an-1+1   n为偶数

，求数列{c_n}的前20项和T₂₀．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得a₁=1，继而可证数列{a_n}为首项是1，公差为1的等差数列，于是可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）知a_n=n，于是可得c_n=

1 2 ( 1 n - 1 n+2 )，n为奇数 3×2n-1+1，n为偶数

，利用分组求和法即可求得数列{c_n}的前20项和T₂₀．

解答：解：（1）∵S_n=

1

2

（an2+n），
∴当n=1时，a₁=

1

2

a12+

1

2

，
解得a₁=1；
当n≥2时，S_n-1=

1

2

（an-12+n-1），
∴a_n=

1

2

（an2-an-12）+

1

2

，
∴an-12=(an-1)2，
∴a_n-1=a_n-1或a_n-1=1-a_n，n≥2．
∵数列{a_n}为单调递增数列，且a₁=1，
∴a_n-a_n-1=1，
∴数列{a_n}为首项是1，公差为1的等差数列，
∴a_n=n．
（2）∵a_n=n，c_n=

1 a 2 n+1 -1         n为奇数 3×2an-1+1   n为偶数

=

1 (n+1)2-1 ，n为奇数 3×2n-1+1，n为偶数

=

1 2 ( 1 n - 1 n+2 )，n为奇数 3×2n-1+1，n为偶数

，
∴T₂₀=（c₁+c₃+…+c₁₉）+（c₂+c₄+…+c₂₀）
=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

19

-

1

21

）]+3（2+2³+…+2¹⁹）+10
=

10

21

+3•

2(1-410)

1-4

+10
=2²¹+8

10

21

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差关系的确定，考查分组求和的应用，突出裂项法与等比数列的公式法求和的综合应用，属于难题．