Question

用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字．
（1）比20000大的五位偶数共有多少个；
（2）从小到大排列所有的五位数，问35214是第几位？
（3）能被6整除的五位数有多少个．

Answer 1

分析：（1）根据题意，符合题意的五位数的首位只能是2，3，4，5，共4种可能，同时末位数字必须是0、2或4；分首位是2，末首位是4，首位是3、5，三种情况讨论，计算每种情况的数字数目，由分类计数原理计算可得答案；
（2）根据题意，分析比35214小的五位数情况，分①首位数字为1、2，②首位数字为3，第2位数字为0、1、2、4，③首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为0、1时，④首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为2，十位数字为0时，⑤首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为2，十位数字为1，五种情况讨论，分别计算每种情况的数字数目，由分类计数原理计算可得答案．
（3）分析可得：被6整除的数必须是既能被2整除，也能被3整除，进而按照能被3整除的数的特点，分2种情况讨论，①、五个数字由1、2、3、4、5组成，②、五个数字由0、1、2、4、5组成，计算每种情况的数字数目，由分类计数原理计算可得答案．

解答：解：（1）根据题意，符合题意的五位数的首位只能是2，3，4，5，共4种可能，末位数字必须是0、2或4；
当首位是2时，末位是4或0，有2A₄³=48种结果，
当首位是4时，同样有48种结果，
当首位是3，5时，共有2×3×A₄³=144种结果，
总上可知共有48+48+144=240种结果，即比20000大的五位偶数有240个；
（2）根据题意，当五位数首位数字为1、2时，有2A₅⁴=240个数，
当首位数字为3，第2位数字为0、1、2、4时，有4A₄³=96个数，
当首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为0、1时，有2A₃²=12个数，
当首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为2，十位数字为0时，有2个数，
当首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为2，十位数字为1时，比35214小的还有35210，1个数；
则比35214小的五位数有240+96+12+2+1=351个，故35214是第352位，
（3）根据题意，被6整除的数必须是既能被2整除，也能被3整除，
若能被3整除，则各位数字之和必须能被3整除，有2种情况，
①、当五个数字由1、2、3、4、5组成时，其末位数字为2、4，有2A₄⁴=48个，
②、当五个数字由0、1、2、4、5组成时，
首位数字为1、5时，末位有3种选择，共有2×3×A₃³=36个，
首位数字为2、4时，末位有2种选择，共有2×2×A₃³=24个，
此时共有36+24=60个，
则被6整除的五位数有46+60=108个．

点评：本题考查排列、组合的应用，解题中注意首位数字不能为0，一般需要分情况讨论．