Question

在△ABC中，边BC固定，｜BC｜＝6，BC边上的高的长为3，求垂心H的轨迹方程．

Answer 1

答案：
解析：

解析：方法一　以B为原点，直线BC为x轴，建立如图所示的坐标系．设H(x，y)，由平面几何知，Rt△BHD∽Rt△ACD，它们的对应边成比例，得H∈． 　　∵｜BC｜＝6，∴C(6，0)． 　　∵D(x，0)，A(x，3)，代入＝， 　　得＝，x≠6． 　　化简得y＝x2－2x，或y＝－x2＋2x． 　　当x＝6时，△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，其垂心即为C，而C的坐标为(6，0)，也满足方程y＝x2－2x，或y＝－x2＋2x，所以所求轨迹方程为y＝x2－2x，或y＝－x2＋2x． 　　方法二　建立如图所示的坐标系． 　　设H(x，y)，由平面几何知，AC⊥BE， 　　即H∈｛H｜AC⊥BE｝． 　　∵｜BC｜＝6，∴C(6，0)．∵D(x，0)，A(x，3)，由AC⊥BE，得kACkBE＝·＝－1，x≠6，x≠0．得y＝－x2＋2x． 　　当x＝6时，△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，其垂心即为C，而C的坐标为(6，0)，满足方程y＝－x2＋2x． 　　当x＝0时，△ABC是以B为直角顶点的直角三角形，其垂心即为B，而B的坐标为(0，0)，满足方程y＝－x2＋2x． 　　当点A在x轴的下方时，同法可得轨迹方程为y＝x2－2x．所以所求轨迹方程为y＝x2－2x，或y＝－x2＋2x．