Question

12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且$\sqrt{3}a$=2csinA．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=2，且a+b=3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知等式可得2sinCsinA=$\sqrt{3}$sinA，又sinA≠0，解得sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合范围C∈（0，π），即可求C的值．
（2）由余弦定理可得：4=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab=9-3ab，解得ab=$\frac{5}{3}$，根据三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）∵由正弦定理可得2sinCsinA=$\sqrt{3}$sinA，sinA≠0，即有sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴由C∈（0，π），则C=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．
（2）∵△ABC为锐角三角形，
∴C=$\frac{π}{3}$，c=2，且a+b=3，
∴由余弦定理可得：4=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab=9-3ab，解得：ab=$\frac{5}{3}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×$$\frac{5}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{12}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．