Question

抛物线y²=4x焦点F，则经过点F，M（4，4）且与抛物线的准线相切的圆的个数为________．

Answer 1

2
分析：根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线的方程，设出所求圆的圆心，表示出半径，则圆的方程可得，把M，F点的坐标代入整理求得h，和g，则圆的方程可求．
解答：解：抛物线y²=4x的焦参数p=2，所以F（1，0），准线l：x=-1，即x+1=0，
设经过点M（4，4）、F（1，0），且与直线l相切的圆的圆心为Q（a，b），
则半径为Q到l的距离为即1+a，
∴所以圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=（1+a）²；
将M、F的坐标代入，（4-a）²+（4-b）²=（1+a）²①，
（1-a）²+b²=（1+a）²②，
由①②得：b²-8b+1=10a，③
b²=4a，④
由③④得：3b²+16b-2=0，
解得b₁=，b₂=．
将b₁，b₂分别代入④得：a₁=，a₂=．
故圆的个数为2个．
故答案为：2．
点评：本题主要考查了抛物线的简单性质和圆的标准方程．考查了运用待定系数法求圆的方程以及圆与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，属于难题．