Question

如图，平地上有一条水沟，沟沿AB为2 m，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为O，对称轴与地面垂直，沟深1.5 m，沟中水深1 m．

(1)求水面宽；

(2)现在要把这条水沟改挖成截面为等腰梯形的沟，沟的底面与地面平行，两腰分别与抛物线相切，如图，改挖后的沟底宽为多少米时，所挖的土最少？

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)如图建立直角坐标系．设抛物线方程为y＝ax2，则由抛物线过点(1，)，可得a＝，于是抛物线方程为y＝x2． 　　当y＝1时x＝±，由此，水面宽为m． 　　(2)设切点P(t，t2)(0＜t≤1)是抛物线弧OB上一点，过P作抛物线的切线，得如上图所示的直角梯形OCBE． 　　由于y＝x2，|x＝t＝·2x|x＝t＝3t， 　　故切线CD的方程为y＝3t(x－t)＋t2， 　　即y＝3txt2． 　　于是C(t，0)，D((t＋)，)． 　　设梯形OCBE的面积为S1，则 　　S1＝[t＋]t＋)]·＝(t＋)． 　　令＝0，得()＝0．解得t＝±． 　　∵0＜t≤1，故t＝． 　　∵t＝时，S1取最值； 　　而t＝时，C点的坐标为(，0)． 　　因此要使所挖掉的土最少，改挖后的沟底的宽必须为m．