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设常数a≥0,函数f(x)=x-ln2x+2alnx-1
(1)令g(x)=xf'(x)(x>0),求g(x)的最小值,并比较g(x)的最小值与0的大小;
(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)求证:当x>1时,恒有x>ln2x-2alnx+1.
【答案】分析:(1)依题意求出g(x)的表示式,用导数研究其单调性求出其最小值再与0比较;
(2)利用(1)的结论进行证明,判断时要求注意研究的区间是(0,+∞)这一特征;
(3)由(2)的结论知只须证明f(1)非负即可.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=x-(lnx)(lnx)+2alnx-1,x∈(0,+∞)
,=,(2分)
∴g(x)=xf'(x)=x-2lnx+2a,x∈(0,+∞)
,令g'(x)=0,得x=2,(4分)
列表如下:

∴g(x)在x=2处取得极小值g(2)=2-2ln2+2a,
即g(x)的最小值为g(2)=2-2ln2+2a.(6分)g(2)=2(1-ln2)+2a,
∵ln2<1,∴1-ln2>0,又a≥0,
∴g(2)>0
证明(Ⅱ)由(Ⅰ)知,g(x)的最小值是正数,
∴对一切x∈(0,+∞),恒有g(x)=xf'(x)>0
从而当x>0时,恒有f'(x)>0
故f(x)在(0,+∞)上是增函数
证明(Ⅲ)由(Ⅱ)知:f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴当x>1时,f(x)>f(1)
又f(1)=1-ln21+2aln1-1=0
∴f(x)>0,即x-1-ln2x+2alnx>0
∴x>ln2x-2alnx+1
故当x>1时,恒有x>ln2x-2alnx+1
点评:考查用导数法求最值,本题三个小题后一个以前一个的结论为基础做题,在遇到这一类题时,即使前一问的结论没有证出来,也可以依据前一问的结论为论据求解后一问的问题,请读者注意这个经验.
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