Question

已知α，β是锐角，sin（α+β）=

11

14

，cosα=

1

7

，求cosβ．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的求值

分析：由题意和cosα的值确定α+β的范围，由平方关系求出sinα和cos（α+β），并由角的范围进行取值，利用两角差的余弦公式求出cos[（α+β）-α]即cos（α+β）的值．

解答： 解：因为α是锐角，cosα=

1

7

＜

1

2

，
所以

π

3

＜α＜

π

2

，sinα=

1-cos2α

=

4 3

7

，
则

π

3

＜α+β＜π，即cos（α+β）＜

1

2

由sin（α+β）=

11

14

得，cos（α+β）=±

1-sin2(α+β)

=±

5 3

14

，
因为

5 3

14

＞

1

2

，所以cos（α+β）=-

5 3

14

，
则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=（-

5 3

14

）×

1

7

+

11

14

×

4 3

7

=

39 3

98

点评：本题考查两角差的余弦公式，平方关系，变角的应用，以及利用三角函数值的大小缩小角的范围，属于中档题．