如图6,已知动圆M过定点F(1,0)且与x轴相切,点F 关于圆心M 的对称点为 F',动点F’的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程;
(2)设是曲线C上的一个定点,过点A任意作两条倾斜角互补的直线,分别与曲线C相交于另外两点P 、Q.
①证明:直线PQ的斜率为定值;
②记曲线C位于P 、Q两点之间的那一段为l.若点B在l上,且点B到直线PQ的
距离最大,求点B的坐标.
(1);(2)见解析.
【解析】第一问中利用直线育园的位置关系可知得到曲线C的轨迹方程
第二问中,(法1)由题意,直线AP的斜率存在且不为零,如图6-2.
设直线AP的斜率为k(),则直线AQ的斜率为-k. ………………6分
因为是曲线C:上的点,
所以,直线AP的方程为.
由与联立,
解之得,
所以点P的坐标为(,),
以-k替换k,得点Q的坐标为(,)
所以直线PQ的斜率为定值
再就是由①可知,,,
,所以直线QP的方程为,
整理得得到B的坐标。
解:(1)(法1)设,因为点在圆M上,
且点F关于圆心M的对称点为F’,
所以, …………1分
且圆M的直径为.…………2分
由题意,动圆M与y轴相切,
所以,两边平方整理得:,
所以曲线C的方程为. ………………………………5分
(法2)因为动圆M过定点且与x轴相切,所以动圆M在x轴上方,
连结FF’,因为点F关于圆心M的对称点为F’,所以FF’为圆M的直径.
过点M作轴,垂足为N,过点F’作轴,垂足为E(如图6-1).
在直角梯形EOFF’中,,
即动点F’到定点的距离比到轴的距离大1. ……………………………3分
又动点F’于轴的上方(包括轴上),
所以动点F’到定点的距离与到定直线y=-1的距离相等.
故动点F’的轨迹是以点为焦点,以直线y=1为准线的抛物线.
所以曲线C的方程为. ……………………………5分
(2)①(法1)由题意,直线AP的斜率存在且不为零,如图6-2.
设直线AP的斜率为k(),则直线AQ的斜率为-k. ………………6分
因为是曲线C:上的点,
所以,直线AP的方程为.
由与联立,
解之得,
所以点P的坐标为(,),
以-k替换k,得点Q的坐标为(,),. ………………8分
所以直线PQ的斜率为定值.………………10分
(法2)因为是曲线C:上的点,所以,
又点P、Q在曲线C:上,所以可设,, …6分
而直线AP,AQ的倾斜角互补,
所以它们的斜率互为相反数,即,整理得.8分
所以直线pq的斜率为定值. ………10分
②(法1)由①可知,,
,所以直线QP的方程为,
整理得. …………11分
设点在曲线段l上,因为P、Q两点的横坐标分别为和,
所以B点的横坐标X在和之间,
所以,从而.
点B到直线QP的距离d=. ………12分
当时,d的最大值为.
注意到,所以点在曲线段L上.
所以,点B的坐标是. …………………………………………14分
(法2)由①可知,,结合图6-3可知,
若点B在曲线段L上,且点B到直线PQ的距离最大,
则曲线C在点B处的切线L//QP. ………………11分
设L:,由方程组
与,联立可得
消去y,得.
令△=0,整理,得.……12分
代入方程组,解得,.
所以,点B的坐标是. ……………………………………………14分
(法3)因为抛物线C:关于y轴对称,
由图6-4可知,当直线AP的倾斜角大于00且趋近于00时,直线AQ的倾斜角小于1800且趋近于1800,即当直线AP的斜率大于0且趋近于0时,直线AQ的斜率小于0且趋近于0.
从而P、Q两点趋近于点关于轴的对称点. ……11分
由抛物线C的方程和①的结论,
得,.
所以抛物线C以点为切点的切线L//PQ.
……………………12分
所以曲线段L上到直线QP的距离最大的点就是点A’,
即点B、点A’重合.
所以,点B的坐标是. ……………14分
科目:高中数学 来源: 题型:
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AM |
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