Question

【题目】已知a，b，c∈（0，+∞）且 a≥b≥c，a+b+c=12，ab+bc+ca=45，则a的最小值为（ ）
A.5
B.10
C.15
D.20

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵a+b+c=12，∴b+c=12﹣a，

∵a≥b≥c，∴a≥4，（a﹣b）（a﹣c）≥0，

即a2﹣a（12﹣a）+bc≥0，即bc≥a（12﹣a）﹣a2=12a﹣2a2，

∴ab+bc+ca=bc+a（12﹣a）≥12a﹣2a2+a（12﹣a）=﹣3a2+24a，

即45≥﹣3a2+24a，解得a≥5或a≤3（舍），

当且仅当a=5，b=5，c=2时取等号．

故选A．

【考点精析】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用的相关知识点，需要掌握用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”才能正确解答此题．