Question

（2008•温州模拟）如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．
（1）求证：PB∥平面EFG；
（2）求异面直线EG与BD所成的角；
（3）在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离为

4

5

．若存在，求出CQ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）取AB中点H，连接GH，HE，易知E，F，G，H四点共面，根据中位线定理可知EH∥PB，又EH?面EFG，PB?平面EFG，满足线面平行的判定定理所需条件；
（2）取BC的中点M，连接GM、AM、EM，则GM∥BD，∠EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD所成的角，在Rt△MGE中，利用余弦定理求出此角即可；
（3）假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件，过点Q作QR⊥AB于R，连接RE，过A作AT⊥ER于T，可知AT就是点A到平面EFQ的距离，设CQ=x（0≤x≤2），在Rt△EAR中利用等面积法可求出x，从而求出所求．

解答：解：（1）证明：取AB中点H，连接GH，HE，
∵E，F，G分别是线段PA、PD、CD的中点，
∴GH∥AD∥EF，
∴E，F，G，H四点共面．…（1分）
又H为AB中点，
∴EH∥PB．…（2分）
又EH?面EFG，PB?平面EFG，
∴PB∥面EFG．…（3分）
（2）解：取BC的中点M，连接GM、AM、EM，则GM∥BD，
∴∠EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD所成的角．…（4分）
在Rt△MAE中，EM=

EA2+AM2

=

6

，
同理EG=

6

，又GM=

1

2

BD=

2

，
∴在Rt△MGE中，cos∠EGM=

EG2+GM2-ME2

2EG•GM

=

3

6

…（7分）
故异面直线EG与BD所成的角为arccos

3

6

．…（8分）
（3）假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件．
过点Q作QR⊥AB于R，连接RE，则QR∥AD．
∵ABCD是正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，
∴AD⊥AB，AD⊥PA，
又AB∩PA=A，
∴AD⊥平面PAB．
又∵E，F分别是PA，PD中点，
∴EF∥AD，∴EF⊥平面PAB
又EF?面EFQ，
∴面EFQ⊥平面PAB．
过A作AT⊥ER于T，则AT⊥面EFQ，
∴AT就是点A到平面EFQ的距离．…（12分）
设CQ=x（0≤x≤2），则BR=CQ=x，AR=2-x，AE=1，
在Rt△EAR中，AT=

AR•AE

RE

=

(2-x)•1

(2-x)2+12

=

4

5

解得x=

2

3

．
故存在点Q，当CQ=

2

3

时，点A到平面EFQ的距离为

4

5

…（14分）

点评：本题主要考查了线面平行的判定，以及异面直线所成角和点到面的距离的度量，同时考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．