Question

设正方形 ABCD，点P在线段CD的延长线上，且P点到A点的距离为1，那么，四边形ABCP的面积的最大可能值是（　　）

• A、

  5 +2

  4

• B、

  2

• C、

  5 +1

  2

• D、

  5

  +1

Answer 1

分析：由于直角三角形ADP的斜边长是1，所以设直角边AD=sinx （0＜x＜

π

2

），则把四边形ABCP的面积表示成三角函数形式；然后利用三角函数的有关公式（特别是asinx+bcosx=

a2+b2

sin（x+φ）），把其转化为正弦型函数；最后根据正弦函数的值域，求得四边形ABCP面积的最大值．

解答：解：据题意画图如下
∵AP=1∴0＜AD＜1∴设AD=sinx （0＜x＜

π

2

）．
则PD=

1-sin2x

=cosx
∴S_ABCP=sin²x+

1

2

sinxcosx=

1

2

（1-cos2x）+

1

4

sin2x
=（

1

4

sin2x-

1

2

cos2x）+

1

2

=

5

4

sin（2x-φ）+

1

2

∴四边形ABCP的面积的最大值是

5

4

+

1

2

，即

5 +2

4

．
故选A．

点评：当有些数据在[-1，1]内时，可利用三角知识把它设为sinα或cosα的形式，然后充分利用三角函数的有关知识进行化简、运算，直至解决．否则问题可能会非常麻烦，甚至无法解决．