Question

已知椭圆

x2

24

+

y2

16

=1，直线l：

x

12

+

y

8

=1．P是l上点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|•|OP|=|OR|²，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

Answer 1

分析：先设三个点P、R、Q的坐标分别为（x_P，y_P），（x_R，y_R），（x，y），利用共线条件得出它们坐标的关系，再依据条件|OQ|•|OP|=|OR|²，将三点的坐标代入，最终得到关于x，y的方程即为所求．

解答：解：由题设知点Q不在原点．设P、R、Q的坐标分别为（x_P，y_P），（x_R，y_R），（x，y），其中x，y不同时为零．
当点P不在y轴上时，由于点R在椭圆上及点O、Q、R共线，
得方程组

x 2 R 24 + y 2 R 16 =1 yR xR = y x

解得

x 2 R = 48x2 2x2+3y2 ① y 2 R = 48y2 2x2+3y2 ②

由于点P在直线l上及点O、Q、P共线，得方程组

xp 12 + yp 8 =1 yp xp = y x

．
解得

xp= 24x 2x+3y ③ yp= 24y 2x+3y ④

当点P在y轴上时，经验证①～④式也成立．
由题设|OQ|•|OP|=|OR|²，得

x2+y2

•

x 2 P + y 2 P

=(

x 2 R + y 2 R

)2
将①～④代入上式，化简整理得

242(x2+y2)2 (2x+3y)2

=

48(x2+y2)

2x2+3y2

因x与x_p同号或y与yp同号，以及③、④知2x+3y＞0，
故点Q的轨迹方程为

(x-1)2

5 2

+

(y-1)2

5 3

=1（其中x，y不同时为零）．
所以点Q的轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为

10

2

和

15

3

且长轴与x轴平行的椭圆、去掉坐标原点．

点评：本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法，利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力．