Question

若定义在（-∞，1）∪（1，+∞）上的函数y=f（x）满足f（x+2）=f（-x），且当x∈（1，+∞）时，，则下列结论中正确的是（ ）
A．存在t∈R，使f（x）≥2在恒成立
B．对任意t∈R，0≤f（x）≤2在恒成立
C．对任意t∈R^-，f（x）在上始终存在反函数
D．对任意t∈R⁺，f（x）在上始终存在反函数

Answer 1

【答案】分析：函数y=f（x）满足f（x+2）=f（-x），得出函数y=f（x）的图象关于x=1对称，根据已知条件作出函数f（x）的图象，如图所示．观察图象利用图解法对选项一一进行验证即可．
解答：解：∵函数y=f（x）满足f（x+2）=f（-x），
∴函数y=f（x）的图象关于x=1对称，
且当x∈（1，+∞）时，，
作出函数f（x）的图象，如图所示．观察图象得：
A：不存在t∈R，使f（x）≥2在长度为1的区间上恒成立；故A错．
B：对任意t∈R，0≤f（x）≤2在不是恒成立；故B错．
C：任意t∈R^-，f（x）在上始终是单调函数，故存在反函数；C正确．
D：对任意t∈R⁺，f（x）在上不是始终是单调的，不一定存在反函数；故D错．
故选C．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数对称性的应用、带绝对值的函数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．