Question

在等差 数列{a_n}中，a₁=8，a₄=2
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）设T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求T_n；
（3）设b_n=

1

n(12-an)

（n∈N^*），B_n=b₁+b₂+…+b_n（n∈N^*），是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N^*均有B_n＞

m

32

成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由a₁=8，a₄=2求出公差，代入通项公式、前n项和即得结论；
（2）判断哪几项为非负数，再分类讨论，即可求得T_n；
（3）求得数列的通项，利用裂项法求和，求出最小值，再解不等式，即可得到结论．

解答：解：（1）∵a₁=8，a₄=2，∴公差d=

2-8

4-1

=-2，∴a_n=a₁+（n-1）d=10-2n
∴S_n=

n(8+10-2n)

2

=n（9-n）；
（2）∵a_n=10-2n≥0，∴n≤5
∴数列{a_n}的前5项为非负数，后面的项为负数．
∴n≤5时，T_n=n（9-n）；
n≥6时，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-S_n+2S₅=n（n-9）+20=n²-9n+20
∴T_n=

n(9-n)，n≤5 n2-9n+20，n≥6

；
（3）b_n=

1

n(12-an)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)，∴B_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

2

(1-

1

n+1

)
∴n=1时，B_n取得最小值

1

4

∵对任意n∈N^*均有B_n＞

m

32

成立，∴

1

4

＞

m

32

，∴m＜8
∴使得对任意n∈N^*均有B_n＞

m

32

成立的最大整数为7．

点评：本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查恒成立问题，确定数列的通项，正确求和是关键．