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已知椭圆E:(a>b>0)过点P(3,1),其左、右焦点分别为F1,F2,且
(1)求椭圆E的方程;
(2)若M,N是直线x=5上的两个动点,且F1M⊥F2N,圆C是以MN为直径的圆,其面积为S,求S的最小值以及当S取最小值时圆C的方程.
【答案】分析:(1)设左、右焦点分别为F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0),代入求出c,再根据椭圆的定义求出2a,从而求得椭圆的方程;
(2)设出M,N的坐标分别为(5,m),(5,n),根据F1M⊥F2N,得到mn=-9,要求以MN为直径的圆的面积最小,即求MN最小,利用基本不等式即可求得线段MN的最小值,从而求得S的最小值以及当S取最小值时圆C的方程.
解答:解:(1)设点F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0)(c>0),

,可得c=4,
所以

所以椭圆E的方程为
(2)设M,N的坐标分别为(5,m),(5,n),
,又
可得,即mn=-9,
,(当且仅当|m|=|n|时取等号)
,且当S取最小值时,
有m=3,n=-3或m=-3,n=3,
此时圆C的方程为(x-5)2+y2=9.
点评:此题是个中档题.考查椭圆的定义和标准方程的求法,以及圆与椭圆的综合等知识,同时考查了学生创造性分析解决问题的能力.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年河南省洛阳市高三上学期期末考试理科数学 题型:解答题

(本小题满分12分)

    已知椭圆E:(a>b>0)的离心率e=,左、右焦点分别为F1、F2,点P(2,),点F2在线段PF1的中垂线上

   (1)求椭圆E的方程;

   (2)设l1l2是过点G(,0)且互相垂直的两条直线,l1交E于A, B两点,l2交E于C,D两点,求l1的斜率k的取值范围;

   (3)在(2)的条件下,设AB,CD的中点分别为M,N,试问直线MN是否恒过定点?

若经过,求出该定点坐标;若不经过,请说明理由。

 

 

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知椭圆E:数学公式(a>b>0)的焦点为F1,F2,离心率为数学公式,直线l:x+2y-2=0与x轴,y轴分别交于点A,B.
(Ⅰ)若点A是椭圆E的一个顶点,求椭圆E的方程;
(Ⅱ)若线段AB上存在点P满足|PF1+PF2|=2a,求a的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知椭圆E:数学公式(a>b>0)的右焦点为F(c,0),离心率为数学公式,A(-a,0),B(0,b),且△ABF的面积为数学公式,设斜率为k的直线过点F,且与椭圆E相交于M、N两点.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)若 数学公式数学公式数学公式数学公式,求k的取值范围.

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科目:高中数学 来源:江西省同步题 题型:解答题

已知椭圆E:(a>b>0)的右焦点为F(c,0),离心率为,A(﹣a,0),
B(0,b),且△ABF的面积为,设斜率为k的直线过点F,且与椭圆E相交于M、N两点.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)若 ·,求k的取值范围.

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