Question

（满分16分）已知定义域为的函数同时满足以下三个条件时，称为“友谊函数”，

[1] 对任意的，总有；  [2] ；

[3] 若，，且，则有成立。

请解答下列各题：

(1)若已知为“友谊函数”，求的值；

(2)函数在区间上是否为“友谊函数”？并给出理由.

(3)已知为“友谊函数”，假定存在，使得且，求证：.

Answer 1

解析：（1）取得，又由，得          

（2）显然在上满足[1] ；[2] .若，，且，则有

 故满足条件[1]、[2]、[3]，所以为友谊函数.

(3)由 [3]知任给其中，且有，不妨设

则必有：所以：

所以：.依题意必有,

下面用反证法证明：假设，则有或

(1)    若，则，这与矛盾；

(2)     若，则，这与矛盾；

     故由上述（1）、（2）证明知假设不成立，则必有，证毕.