Question

某县地处水乡，县政府计划从今年起用处理过的生活垃圾和工业废渣填河造地．
（1）若该县以每年1%的速度减少年填河面积，并保持生态平衡，使填河总面积永远不会超过现有水面面积的

1

4

，问：今年所填面积最多只能占现有水面面积的百分之几？
（2）水面的减少必然导致蓄水能力的降低，为了保持其防洪能力不会下降，就要增加排水设备，设其经费y（元）与当年所填土地面积x（亩）的平方成正比，比例系数为a，又设每亩水面平均经济收入为b元，所填的每亩土地年平均收入为c元，那么，要使这三项的收入不少于支出，试求所填面积x之最大值（其中a，b，c为常数）．

Answer 1

分析：（1）设该县现有水面面积为M（亩），今年所填面积x（亩），则由已知条件得：x+x(1-1%)+x(1-1%)2+≤

1

4

M．由此可知今年所填面积最多只能占现有水面面积的0.25%．
（2）由题设条件可知x(x-

c-b

a

)≤0，然后再根据题设条件进行分类讨论．

解答：解：（1）设该县现有水面面积为M（亩），今年所填面积x（亩），
则由已知条件得：x+x(1-1%)+x(1-1%)2+≤

1

4

M．
上式左端是无穷等比数列各项和，即有：x

lim

n→∞

1-(1-1%)n

1-(1-1%)

≤

1

4

M
∴

x

1 100

≤

1

4

M，故x≤

1

400

M
这说明今年所填面积最多只能占现有水面面积的0.25%．
（2）由题设条件可知：cx-（ax²+bx）≥0
即x(x-

c-b

a

)≤0
当c-b≤0时，

c-b

a

≤x≤0，x为非正值，说明不能填地；
当c-b＞0时，0≤x≤

c-b

a

，x为非负值，说明所填土地面积的最大值为

c-b

a

亩．

点评：解答本题关键在于深刻理解题意，将填河造地的面积抽象为一个等比数列，由“填河总面积永远…”就须求出这个无穷等比数列各项的和．