Question

6．设{$\overrightarrow{i}$、$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{k}$}是单位正交基底，已知向量$\overrightarrow{p}$在基底{$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$}下的坐标为（8，6，4），其中$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{i}$+$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{j}$+$\overrightarrow{k}$，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{k}$+$\overrightarrow{i}$则向量$\overrightarrow{p}$在基底{$\overrightarrow{i}$，$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{k}$}下的坐标是（　　）

• A． （12，14，10）
• B． （10，12，14）
• C． （14，12，10）
• D． （4，3，2）

Answer 1

分析 由题意可得$\overrightarrow{p}$=8$\overrightarrow{a}$+6$\overrightarrow{b}$+4$\overrightarrow{c}$=8（$\overrightarrow{i}$+$\overrightarrow{j}$）+6（$\overrightarrow{j}$+$\overrightarrow{k}$）+4（$\overrightarrow{k}$+$\overrightarrow{i}$）=12$\overrightarrow{i}$+14$\overrightarrow{j}$+10$\overrightarrow{k}$=（12，14，10）．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{p}$在基底{$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$}下的坐标为（8，6，4），
∴$\overrightarrow{p}$=8$\overrightarrow{a}$+6$\overrightarrow{b}$+4$\overrightarrow{c}$，
又∵$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{i}$+$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{j}$+$\overrightarrow{k}$，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{k}$+$\overrightarrow{i}$，
∴$\overrightarrow{p}$=8（$\overrightarrow{i}$+$\overrightarrow{j}$）+6（$\overrightarrow{j}$+$\overrightarrow{k}$）+4（$\overrightarrow{k}$+$\overrightarrow{i}$）
=12$\overrightarrow{i}$+14$\overrightarrow{j}$+10$\overrightarrow{k}$=（12，14，10），
故选：A．

点评 本题考查了空间向量的坐标表示的应用，属于基础题．