Question

把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第行共有个正整数.设（i、j∈N*）表示位于这个数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数.

（Ⅰ）若＝2010，求i和j的值；

（Ⅱ）记N*)，试比较与的大小，并说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）i＝11,

（Ⅱ）当，2，3时,   当时，

解析:

（Ⅰ）因为数表中前i－1行共有个数，则第i行的第一个数是，所以                                  （2分）

因为，＝2010，则i－1＝10，即i＝11．              （4分）

令，则.            （5分）

（Ⅱ）因为，则N*).           （6分）

所以.

所以.       （7分）

检验知，当，2，3时，，即.       （8分）

猜想：当时，.                （9分）

证法一：当时,

                     . （12分）

综上分析，当时，；当时，.    （13分）

证法二：① 当时，，所以成立.  （10分）

② 假设当时，不等式成立，即.

则.

因为，

所以，即当时，猜想也正确.

由①、②得当时, 成立.

综上分析，当时，；当时，.        （13分）