Question

若x＞0，y＞0，x+y＞2，求证：

1+x

y

＜2，

1+y

x

＜2至少有一个成立．

Answer 1

分析：运用反证法，假设

1+x

y

＜2，

1+y

x

＜2均不成立，则

1+x

y

≥2，

1+y

x

≥2，从而可得x+y≤2，这和已知条件x+y＞2相矛盾，即可得到结论．

解答：证明：假设

1+x

y

＜2，

1+y

x

＜2均不成立，则

1+x

y

≥2，

1+y

x

≥2，
∴1+x≥2y，1+y≥2x，
∴1+x+1+y≥2y+2x，
∴x+y≤2，这和已知条件x+y＞2相矛盾，所以假设不成立，
∴原命题成立．

点评：本题考查不等式的证明，考查反证法的运用，正确引出矛盾是关键．